Discuţie

introducere

Poate că ai observat sau poate că nu. Uneori, atunci când vibrați un șir, sau un cablu, sau un lanț sau un cablu, este posibil să faceți ca acesta să vibreze într-un mod care să genereze o undă, dar unda nu se propagă. Stă acolo vibrând în sus și în jos în loc. O astfel de undă se numește a și trebuie văzută ca fiind apreciată.

valuri

Am descoperit mai întâi valurile staționare (sau mai întâi îmi amintesc că le-am văzut) în timp ce mă jucam cu un cablu de telefon. Dacă scuturați cablul telefonic în mod corect, este posibil să faceți o undă care pare să stea nemișcată. Dacă scuturați cablul telefonic în orice alt mod, veți obține o undă care se comportă ca toate celelalte unde descrise în acest capitol; unde care se propagă. Valurile călătoare au puncte înalte numite creste și puncte joase numite jgheaburi (în cazul transversal) sau puncte comprimate numite compresiuni și puncte întinse numite rarefacții (în cazul longitudinal) care se deplasează prin mediu. Undele staționare nu merg nicăieri, dar au regiuni în care perturbarea valului este destul de mică, aproape zero. Aceste locații sunt numite. Există, de asemenea, regiuni în care perturbarea este destul de intensă, mai mare decât oriunde în mediu, numită .

Undele staționare se pot forma într-o varietate de condiții, dar sunt ușor de demonstrat într-un mediu finit sau delimitat. Un cablu telefonic începe de la bază și se termină la receptor. (Sau este invers?) Alte exemple simple de suport finit sunt o coardă de chitară (rulează de la fret la punte), un cap de tambur (este delimitat de jantă), aerul dintr-o cameră (este delimitat de ziduri), apa din lacul Michigan (este delimitată de maluri) sau suprafața Pământului (deși nu este delimitată, suprafața Pământului este finită). În general, undele staționare pot fi produse de oricare două unde identice care călătoresc în direcții opuse care au lungimea de undă potrivită. Într-un mediu delimitat, undele staționare apar atunci când o undă cu lungimea de undă corectă își întâlnește reflexia. Interferența acestor două unde produce o undă rezultată care nu pare să se miște.

Undele staționare nu se formează în niciun caz. Acestea necesită ca energia să fie alimentată într-un sistem la o frecvență adecvată. Adică, atunci când aplicarea unui sistem este egală cu a sa. Această condiție este cunoscută sub numele de. Undele staționare sunt întotdeauna asociate cu rezonanță. Rezonanța poate fi identificată printr-o creștere dramatică a amplitudinii vibrațiilor rezultante. Comparativ cu undele călătoare cu aceeași amplitudine, producerea undelor staționare este relativ fără efort. În cazul cablului telefonic, mișcările mici din mână vor avea ca rezultat mișcări mult mai mari ale cablului telefonic.

Orice sistem în care se pot forma unde staționare are numeroase frecvențe naturale. Setul tuturor valurilor staționare posibile este cunoscut sub numele de sistem. Cea mai simplă dintre armonici se numește sau prima armonică. Undele staționare ulterioare sunt numite a doua armonică, a treia armonică etc. Armonicele deasupra fundamentalului, mai ales în teoria muzicală, sunt uneori numite și. Ce lungimi de undă vor forma unde staționare într-un sistem simplu, unidimensional? Există trei cazuri simple.

o dimensiune: două capete fixe

Dacă un mediu este delimitat astfel încât capetele sale opuse să poată fi considerate fixe, atunci nodurile vor fi găsite la capete. Cea mai simplă undă staționară care se poate forma în aceste circumstanțe are un antinod în mijloc. Aceasta este o jumătate de lungime de undă. Pentru a face următoarea undă permanentă, așezați un nod în centru. Acum avem o întreagă lungime de undă. Pentru a face a treia undă permanentă, împărțiți lungimea în treimi adăugând un alt nod. Acest lucru ne oferă o lungime de undă și jumătate. Ar trebui să devină evident că pentru a continua tot ce este necesar este să adăugați în continuare noduri, împărțind mediul în pătrimi, apoi cincimi, șase, etc. Există un număr infinit de armonici pentru acest sistem, dar indiferent de câte ori împărțim mediul, obținem întotdeauna un număr întreg de jumătăți de lungimi de undă (1 2 λ, 2 2 λ, 3 2 λ, ..., n 2 λ).

Există relații importante între armoniile în sine în această succesiune. Lungimile de undă ale armonicelor sunt fracții simple ale lungimii de undă fundamentale. Dacă lungimea de undă fundamentală ar fi 1 m lungimea de undă a celei de-a doua armonici ar fi 1 2 m, a treia armonică ar fi 1 3 m, a patra 1 4 m și așa mai departe. Deoarece frecvența este invers proporțională cu lungimea de undă, frecvențele sunt, de asemenea, legate. Frecvențele armonicilor sunt multipli ai numărului întreg al frecvenței fundamentale. Dacă frecvența fundamentală ar fi 1 Hz, frecvența celei de-a doua armonici ar fi de 2 Hz, a treia armonică ar fi de 3 Hz, a patra de 4 Hz și așa mai departe.

o dimensiune: două capete libere

Dacă un mediu este delimitat astfel încât capetele sale opuse să poată fi considerate libere, antinodii vor fi găsiți la capete. Cea mai simplă undă staționară care se poate forma în aceste condiții are un nod în mijloc. Aceasta este o jumătate de lungime de undă. Pentru a face următoarea undă permanentă, așezați un alt antinod în centru. Acum avem o întreagă lungime de undă. Pentru a face a treia undă permanentă posibilă, împărțiți lungimea în treimi adăugând un alt antinod. Acest lucru ne oferă o lungime de undă și jumătate. Ar trebui să devină evident că vom obține aceleași relații pentru valurile staționare formate între două capete libere pe care le avem pentru două capete fixe. Singura diferență este că nodurile au fost înlocuite cu antinode și invers. Astfel, atunci când undele staționare se formează într-un mediu liniar care are două capete libere, un număr întreg de jumătăți de lungimi de undă se potrivesc în interiorul mediului, iar supratoniile sunt multipli ai numărului întreg al frecvenței fundamentale

o dimensiune: un capăt fix - un capăt liber

Când suportul are un capăt fix și unul liber, situația se schimbă într-un mod interesant. Un nod se va forma întotdeauna la capătul fix, în timp ce un antinod se va forma întotdeauna la capătul liber. Cea mai simplă undă staționară care se poate forma în aceste condiții este lungă de un sfert de lungime de undă. Pentru a face următoarea undă permanentă, adăugați atât un nod cât și un antinod, împărțind desenul în treimi. Acum avem trei sferturi de lungime de undă. Repetând această procedură obținem cinci sferturi de lungime de undă, apoi șapte sferturi etc. În acest aranjament, există întotdeauna un număr impar de sferturi de lungimi de undă prezente. Astfel, lungimile de undă ale armonicelor sunt întotdeauna multipli fracționari ai lungimii de undă fundamentale cu un număr impar în numitor. La fel, frecvențele armonicelor sunt întotdeauna multipli impar ai frecvenței fundamentale.

Cele trei cazuri de mai sus arată că, deși nu toate frecvențele vor avea ca rezultat valuri staționare, un sistem simplu, unidimensional, posedă un număr infinit de frecvențe naturale. De asemenea, arată că aceste frecvențe sunt multipli simpli ai unor frecvențe fundamentale. Cu toate acestea, pentru orice sistem din lumea reală, undele staționare cu frecvență mai mare sunt dificile, dacă nu imposibil de produs. Furcile de reglare, de exemplu, vibrează puternic la frecvența fundamentală, foarte puțin la a doua armonică și efectiv deloc la armonicele superioare.

filtrare

Cea mai bună parte a unei unde staționare nu este aceea că pare să stea nemișcată, ci că amplitudinea unei unde staționare este mult mai mare decât amplitudinea perturbării care o conduce. Se pare că obții ceva degeaba. Puneți un pic de energie în ritmul corect și urmăriți cum se acumulează în ceva cu multă energie. Această abilitate de a amplifica o undă cu o anumită frecvență peste cele ale oricărei alte frecvențe are numeroase aplicații.

două dimensiuni

Tipul de raționament utilizat în discuție până acum poate fi aplicat și sistemelor bidimensionale și tridimensionale. Așa cum v-ați aștepta, descrierile sunt puțin mai complexe. Undele staționare în două dimensiuni au numeroase aplicații în muzică. Un cap de tambur circular este un sistem rezonabil de simplu pe care pot fi studiate undele staționare. În loc să aibă noduri la capete opuse, așa cum a fost cazul corzilor de chitară și pian, întreaga margine a tobei este un nod. Alte noduri sunt linii drepte și cercuri. Frecvențele armonice nu sunt simpli multipli ai frecvenței fundamentale.

Diagrama de mai sus prezintă șase moduri simple de vibrație într-un cap de tambur circular. Semnele plus și minus arată faza antinodilor într-un anumit moment. Numerele urmează schema de denumire (D, C), unde D este numărul de diametre nodale și C este numărul de circumferențe nodale.

Undele staționare în două dimensiuni au fost aplicate pe scară largă studiului corpurilor de vioară. Viorile fabricate de producătorul italian de vioară Antonio Stradivari (1644-1737) sunt renumite pentru claritatea tonului pe o gamă dinamică largă. Fizicienii acustici lucrează de ceva timp la reproducerea viorilor de calitate egală cu cele produse de Stradivarius. O tehnică dezvoltată de fizicianul german Ernst Chladni (1756–1794) implică împrăștierea boabelor de nisip fin pe o farfurie dintr-o vioară dezmembrată care este apoi prinsă și setată vibrând cu un arc. Boabele de nisip se îndepărtează de antinodele pline de viață și se acumulează la nodurile liniștite. Rezultatul de la diferite vioare ar putea fi apoi comparat. Probabil, modelele de la viorele care sunau mai bine ar fi similare într-un fel. Prin încercări și erori, un proiectant de vioară ar trebui să fie capabil să producă componente al căror comportament imită cele ale legendarului maestru. Acesta este, desigur, doar un factor în proiectarea unei vioare.

Modele reci pe plăcile de vioară în ordinea frecvenței crescânde Sursa: Joe Wolf, Universitatea din New South Wales
91 Hz 145 Hz 170 Hz 384 Hz

trei dimensiuni

Unele densități de probabilitate pentru electroni într-un atom de hidrogen
| 1,0,0?
| 2,0,0? | 2,1,0? | 2,1,1?
| 3,0,0? | 3,1,0? | 3,1,1? | 3,2,0? | 3,2,1? | 3,2,2?

matematică

În matematică, secvența infinită a fracțiilor 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, ... se numește. În mod surprinzător, există exact același număr de armonici descrise de secvența armonică ca și armonici descrise de secvența „numai cote”: 1 1, 1 3, 1 5, 1 7,…. "Ce? Evident, există mai multe numere în secvența armonică decât există în secvența„ numai cote ”." Nu. Există exact același număr. Iată dovada. Pot seta o între numerele întregi și numerele impare. Observa. (Cu toate acestea, va trebui să mă joc cu formatul numerelor pentru a le face să se alinieze corect pe ecranul unui computer.)

0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, ...
0 1, 0 3, 0 5, 0 7, 0 9, 11, 13, 15, 17, ...

Acest lucru poate continua pentru totdeauna. Ceea ce înseamnă că există exact același număr de numere impare ca și numere întregi. Atât numerele întregi, cât și numerele impare sunt exemple de mulțimi.

Există un număr infinit de lungimi de undă posibile care pot forma unde permanente în toate circumstanțele descrise mai sus, dar există un număr și mai mare de lungimi de undă care nu pot forma unde permanente. "Ce? Cum poți avea mai mult decât o cantitate infinită de ceva?" Ei bine, nu vreau să demonstrez asta chiar acum, așa că va trebui să aveți încredere în mine, dar sunt mai multe între 0 și 1 decât există numere între zero și infinit. Nu numai că avem cu atât mai puțin de unul (1 2, 3 5, 733 2741 etc.), dar avem tot posibilul (√2, 7? √13 etc.) și întreaga serie de bizari (π, e, e π, numărul Feigenbaum etc.). Toate aceste numere formează împreună un set numit. Numărul numerelor întregi este un infinit numit (? 0) numărul de numere reale este un infinit numit c (pentru). Studiul numerelor infinit de mari este cunoscut sub numele de. În acest domeniu, este posibil să se demonstreze că? 0 este mai mic decât c. Nu există o corespondență unu-la-unu între numerele reale și numerele întregi. Astfel, există mai multe frecvențe care nu vor forma unde staționare decât sunt frecvențe care vor forma unde staționare.