Numit si „Radicali” sau „Exponenți raționali”

este rădăcină

Exponenți cu număr întreg

În primul rând, să ne uităm la un număr întreg de exponenți:

Exponentul unui număr spune De câte ori pentru a utiliza numărul dintr-un multiplicare.

În acest exemplu: 8 2 = 8 × 8 = 64

Alt exemplu: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Exponenți fracționari

Dar dacă exponentul este o fracțiune?

Un exponent de 12 este defapt rădăcină pătrată

Un exponent de 13 este rădăcină cubică

Un exponent de 14 este A 4-a rădăcină

Să vedem de ce într-un exemplu.

În primul rând, Legile Exponenților ne spun cum să gestionăm exponenții atunci când înmulțim:

Exemplu: x 2 x 2 = (xx) (xx) = xxxx = x 4

Ceea ce arată asta x 2 x 2 = x (2 + 2) = x 4

Deci, să încercăm asta cu exponenți fracționari:

Exemplu: Ce este 9 ½ × 9 ½ ?

9 ½ × 9 ½ = 9 (½ + ½) = 9 (1) = 9

Deci de 9 ½ ori în sine dă 9.

Cum numim un număr care, atunci când este înmulțit cu el însuși, dă un alt număr? Rădăcina pătrată!

Deci 9 ½ este același cu √9

Încercați o altă fracțiune

Să încercăm din nou, dar cu un exponent de un sfert (1/4):

Exemplu:

16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ = 16 (¼ + ¼ + ¼ + ¼) = 16 (1) = 16

Deci 16 ¼ folosit de 4 ori într-o înmulțire dă 16,

Așadar 16 ¼ este a 4-a rădăcină a lui 16

Regula generala

A funcționat pentru ½, a funcționat cu ¼, de fapt, funcționează în general:

x 1 /n = The n-Rădăcina lui x

Deci, putem veni cu acest lucru:

Exemplu: Ce este 27 1/3 ?

Răspuns: 27 1/3 = 27 = 3

Dar fracțiile mai complicate?

Ce zici de un exponent fracționat precum 4 3/2 ?

Asta chiar spune să faci un cub (3) și a rădăcină pătrată (1/2), în orice ordine.

O fracție (cum ar fi m/n) poate fi împărțit în două părți:

  • o parte din număr întreg (m), și
  • o fracție (1/n) parte

Deci, pentru că m/n = m × (1/n) noi putem sa facem asta:

Comanda nu contează, deci funcționează și pentru m/n = (1/n) × m:

Și obținem acest lucru:

Un exponent fracționat ca m/n mijloace:

Faceți puterea m-a, apoi ia n-a rădăcină

SAU Ia n-a rădăcină și apoi faceți puterea m-a

Exemplu: Ce este 4 3/2 ?

4 3/2 = 4 3 × (1/2) = √ (4 3) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

4 3/2 = 4 (1/2) × 3 = (√4) 3 = (2) 3 = 8

Oricum, obține același rezultat.

Exemplu: Ce este 27 4/3 ?

27 4/3 = 27 4 × (1/3) = (27 4) = (531441) = 81

27 4/3 = 27 (1/3) × 4 = (27) 4 = (3) 4 = 81

Cu siguranță a fost mai ușor în a doua direcție!

Acum. Joacă-te cu graficul!

Vezi cum lin curba se schimbă atunci când joci cu fracțiile din această animație, aceasta îți arată că această idee de exponenți fracționari se potrivește bine:

  • Începeți cu m = 1 și n = 1, apoi creșteți încet n, astfel încât să puteți vedea 1/2, 1/3 și 1/4
  • Apoi încercați m = 2 și glisați n în sus și în jos pentru a vedea fracțiuni precum 2/3 etc.
  • Acum încercați să faceți exponentul -1
  • În cele din urmă, încercați să măriți m, apoi să reduceți n, apoi reduce m, atunci crescând n: curba ar trebui să se învârtă