Primit la 14 mai 2016; acceptat la 24 iunie 2016; publicat la 27 iunie 2016

clasă

În ultimii ani, oamenii de știință s-au interesat să studieze calculul fracțional și FDE în diferite domenii de inginerie, fizică, matematică, biologie, finanțe, biomecanică și procese electrochimice (a se vedea [1] - [8], pentru mai multe detalii). De asemenea, s-a demonstrat că modelarea comportamentului multor sisteme biologice care sunt guvernate de FDE are mai multe avantaje decât modelarea clasică a ordinilor întregi [9]. Cititorii interesați de FDE sunt menționați la [10] - [17]. Deși s-au făcut mari eforturi pentru a găsi tehnici numerice și analitice pentru rezolvarea FDE, de exemplu, metoda predictor-corectoră [18], descompunerea adomiană [19], metoda de iterație variațională [20], colocarea utilizând funcții spline [21] și expresie matricială dată de [22] [23], dar majoritatea acestor FDE nu au soluții analitice.

În această lucrare, la început, aproximăm derivata fracționată printr-o metodă de diferență finită și apoi folosim abordarea AVK [24] pentru a obține o nouă soluție aproximativă pentru FDE. Această abordare substituie FDE-urile cu o problemă de minimizare echivalentă în care soluția optimă a acestei probleme este soluția aproximativă a FDE-ului original. Mai mult, deoarece eroarea acestei abordări este minimizată, soluțiile aproximative sunt cele mai bune soluții pentru problema inițială. Folosim această aproximare pentru a obține soluția numerică a unui sistem de FDE care a fost utilizat pentru modelarea infecției cu HIV a celulelor T CD4 +.

Discuția lucrării va fi după cum urmează: în secțiunea următoare, exprimăm modelul fracțional de HIV și introducem notațiile utilizate în restul acestei lucrări. În secțiunea 3, proiectăm o abordare eficientă pentru a aproxima derivata fracțională și o utilizăm în metoda noastră numerică pentru rezolvarea FDE. Unele exemple numerice sunt afișate în secțiunea 4. În cele din urmă, concluziile sunt incluse în ultima secțiune.

Luați în considerare următorul model de ecuație diferențială de ordin fracțional al infecției cu HIV a celulelor T CD4 + [25]:

(1)

cu condițiile inițiale și, în care valorile parametrilor raportate în tabelul 1.

Urmând teorema 1 din [25], observăm că (1) împreună cu condițiile sale inițiale posedă o soluție unică care este non-negativă. De-a lungul acestei lucrări, am setat () ca derivată de ordine Riemann-Liouville definită de [26]:

(2)

Scopul acestei lucrări este de a extinde aplicarea abordării AVK pentru a rezolva un model de ordine fracționată pentru acest model de infecție HIV a celulelor T CD4 +. Deci, în secțiunea următoare, la început convertim FDE-ul original într-un

Tabelul 1. Variabile și parametri pentru modelul infecției cu HIV.

problemă de optimizare bazată pe minimizarea erorii. Discretizând noua problemă și aproximând derivata fracțională Riemann-Liouville printr-o metodă de diferență finită, obținem cea mai bună soluție aproximativă a FDE originală.

3. Abordare AVK pentru rezolvarea a aproximativ FDE-uri

Luați în considerare un sistem general de FDE după cum urmează:

(3)

unde () este derivata Riemann-Liouville de ordine, g este o funcție de variabilă a timpului integrabilă riemann, iar A este un subset compact în. Numită și variabila de stat. Vrem să obținem o soluție aproximativă a problemei (3). Prin urmare, avem nevoie de următoarea definiție.

Definiție 1. Pentru problema (3) definim următoarea funcționalitate care se numește funcțională eroare totală:

unde este o funcționalitate non-negativă, este orice normă din spațiu, cum ar fi unde se definește după cum urmează:

Aici, convertim problema (4) la o programare neliniară (NLP) după cum urmează:

Acum, pentru a ajunge la soluția aproximativă pentru problema inițială (3) este suficient să se rezolve problema de minimizare (6). Prin urmare, avem nevoie de următoarea teoremă medie [27] și corolar.

Teorema 1. Fie h o funcție continuă non-negativă activată, condiția necesară și suficientă pentru aceasta este aceea, activată .

Corolar 1. Condiția necesară și suficientă pentru ca traiectoria să fie o soluție a sistemului (3) este aceea că soluția optimă a (6) are o funcție obiectivă zero.

Pentru a dezvolta soluția numerică a problemei (6) aproximativ, am definit dimensiunea grilei în timp cu

pentru un număr întreg pozitiv m, deci punctele grilei din intervalul de timp sunt date de,. Pentru a ilustra mai bine abordarea numerică, introducem următoarele notații:

Prin notațiile de mai sus, problema (6) este acum aproximată de următoarea problemă de optimizare:

Prin utilizarea punctului final în orice subinterval pentru aproximarea integralelor, problema (7) este acum aproximată de următoarea problemă de optimizare:

Acum, aproximăm derivata fracțională după cum urmează:

Defini. Apoi, ecuația (9) cedează la

Pentru a ilustra mai bine abordarea numerică, introducem și următorul operator de diferență:

Prin urmare sau timpul de eșantionare este foarte important și trebuie să fie ales mic, astfel încât numărul de partiții este mare. Acesta este un compromis între timpul de eșantionare și viteza de rezolvare a problemelor. Folosind din nou regula trapezoidală în orice subinterval pentru aproximarea integralelor, cu excepția ultimului interval pe care îl folosim aproximarea punctului de mijloc și

să presupunem, pentru. Prin urmare,

Astfel, obținem pur și simplu problema (8) în următoarea formă:

Am rezolvat această problemă de optimizare prin formularea de programare liniară (LP) care se face în cele ce urmează.

Lema 1. Fie perechi, să fie soluțiile optime ale următoarei probleme LP:

unde I este un set compact. Atunci, este soluția optimă a următoarei probleme NLP:

Dovadă. Întrucât, este soluția optimă a problemei LP, deci ele satisfac restricțiile. Astfel există și pentru. Prin urmare, și așa

. Acum, să existe, astfel încât. Definiți, pentru. Apoi și. Mai mult, și de aici

Deci, ceea ce este o contradicție. Vezi [28] mai multe detalii.

Acum, prin lema 1, problema (14) poate fi convertită la următoarea problemă LP echivalentă:

Prin obținerea soluției acestei probleme, recunoaștem valoarea necunoscutului admisibil și .

4. Exemple numerice

În această secțiune, oferim câteva exemple numerice și aplicăm metoda prezentată în ultimele secțiuni pentru rezolvarea lor. Mai mult, extindem această abordare pentru rezolvarea aproximativă a unui model de infecție cu HIV a celulelor T CD4 + cu efect de terapie, inclusiv un sistem de FDE. Aceste probleme de testare demonstrează validitatea și eficiența acestei aproximări.

Exemplul 1. Ca prim exemplu, calculăm, cu, pentru. Formulele exacte ale

derivatele sunt derivate din

Figura 1 prezintă rezultatele utilizând aproximarea (10) - (13) pentru și diferite alegeri ale m.

Acum, presupunem că, și sunt soluțiile aproximative și exacte ale sistemului (3), respectiv. Am definit eroarea absolută de aproximare după cum urmează:

În acest exemplu, erorile absolute maxime calculate de ecuația (16) pentru și diferite alegeri ale lui m, au fost prezentate în tabelul 2.

Exemplul 2. Luați în considerare următoarea problemă de valoare inițială:

cu stare inițială .

Noi stim aia. Prin urmare, soluția analitică pentru sistemul (17) este. Acum extindem derivata fracțională până la problema (15). Soluția este desenată în Figurile 2-4 pentru m = 20, 50, 100 și .

Figura 1. Soluție analitică și aproximare numerică (10), cu diferite opțiuni de m și, pentru exemplul 1.

Masa 2. Eroare absolută maximă pentru exemplul 1.

În cazul, erorile absolute maxime (16) cu diferite opțiuni de m sunt prezentate în Tabelul 3.

Din rezultatele numerice putem indica faptul că soluția FDE abordează soluția ecuației diferențiale de ordin întreg, ori de câte ori se apropie de valoarea sa întreagă.

Exemplul 3. Luați în considerare următorul FDE:

Soluția exactă a acestei ecuații este. În Figura 5 și Figura 6, comparăm soluția exactă cu aproximarea numerică (15) pentru două valori ale lui m și .

Tabelul 4 prezintă soluția exactă și soluția aproximativă pentru ecuația (18) prin rezolvarea problemei (15) pentru și. Rezultatele se compară bine cu cele obținute în [29] .

Exemplul 4. Acum vrem să rezolvăm modelul ecuației diferențiale de ordin fracțional a infecției cu HIV a celulelor CD4 + T (1) Pentru valorile parametrilor date în tabelul 1. Sistemul (1) poate fi exprimat într-o formă vectorială ca urmează:

Figura 2. Soluții exacte și de aproximare pentru problema din Exemplul 2 cu valori diferite ale lui m.

Figura 3. Soluții exacte și de aproximare pentru problema din Exemplul 2 cu valori diferite ale lui m.

unde este vectorul de stare și

Pentru simulări numerice am presupus 350 de zile pentru perioada de tratament. Odată cu schimbarea variabilelor,

Figura 4. Soluții exacte și de aproximare pentru problema din Exemplul 2 cu valori diferite ale lui m.

Tabelul 3. Eroare absolută maximă pentru diferite valori ale pentru Exemplul 2.

Tabelul 4. Valori numerice cu și pentru exemplul 3.

Figura 5. Soluție analitică și aproximare numerică (15) pentru exemplul 3 pentru .

Figura 6. Soluție analitică și aproximare numerică (15) pentru exemplul 3 pentru .

am convertit perioada în. Pe baza conceptelor a fost spus în secțiunea anterioară, cheia derivării abordării este înlocuirea sistemului (19) cu următoarea problemă de optimizare echivalentă:

Tabelul 5. Eroare absolută maximă și valori diferite ale pentru exemplul 4.

cu condiția inițială (20). Pentru a rezolva această problemă de optimizare, aproximând integralele ca mai înainte, am transformat (21) într-o problemă discretizată sub următoarea formă:

În problemele (21) și (22), factorul 350 este omis deoarece nu are niciun efect asupra soluției acestuia. Apoi, problema minimă (22) s-a transformat într-o problemă de programare liniară cu următoarea modificare a variabilelor:

Acum, aproximăm derivatele fracționare din (10) - (13). Abordarea noastră introduce o soluție aproximativă pentru modelul HIV fracționat bazată pe minimizarea erorii totale. Erorile absolute maxime (16) cu m = 100 și valori diferite ale celei prezentate în Tabelul 5, au confirmat eficacitatea abordării noastre în comparație cu rezultatul obținut de [25] .

În această lucrare, metoda diferenței finite abordarea AVK în timp discret a fost utilizată cu succes pentru găsirea soluțiilor unui sistem de FDE, cum ar fi un model pentru infecția cu HIV a celulelor T CD4 +. Abordarea noastră introduce o soluție aproximativă pentru FDE bazată pe minimizarea erorii totale. În metoda sugerată, problema inițială se reduce la o problemă de optimizare. Discretizând noua problemă și rezolvând-o, obținem cea mai bună soluție aproximativă a problemei inițiale. Rezultatele reprezintă o abordare unificatoare pentru aproximarea numerică a ecuațiilor diferențiale de ordin fracțional. Deoarece această metodă nu se bazează pe erori punct la punct, ci în funcție de rezultatele sale, este clar că nu există nicio diferență între soluțiile exacte și aproximative din caz la punct.

Sunt date trei exemple numerice, iar rezultatele sunt comparate cu soluțiile exacte și cu celelalte metode. Se arată că, pe măsură ce ordinea derivatelor fracționare se apropie de 1, soluțiile numerice pentru FDE abordează soluțiile clasice ale problemei. Apoi folosim această tehnică pentru a găsi soluții aproximative ale sistemului FDE al unui model pentru infecția cu HIV a celulelor T CD4 +. Rezultatul demonstrează validitatea abordării.

[1] Barkai, E., Metzler, R. și Klafter, J. (2000) De la plimbări aleatorii în timp continuu la ecuația fracțională Fokker-Planck. Revizuirea fizică E, 61, 132.
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.61.132

[2] Bhrawy, A.H., Doha, E.H., Tenreiro Machado, J.A. și Ezz-Eldien, S.S. (2015) O schemă numerică eficientă pentru rezolvarea problemelor de control optim fracțional multidimensional cu un indice de performanță pătratic. Jurnalul asiatic de control, 17, 2389-2402.
http://dx.doi.org/10.1002/asjc.1109

[3] Podlubny, I. (1998) Ecuații diferențiale fracționare: o introducere în derivatele fracționale, ecuații diferențiale fracționale, la metodele de soluționare a acestora și unele dintre aplicațiile lor. Vol. 198, Academic Press, Matematica în științe și inginerie, 366.

[4] Magin, R.L. (2006) Calcul fracțional în bioinginerie. Vol. 149, Begell House Publishers, Redding.

[5] Raberto, M., Scalas, E. și Mainardi, F. (2002) Waiting-Times and Returns in High-Frequency Financial Data: An Empirical Study. Physica A: Mecanica statistică și aplicațiile sale, 314, 749-755.

[6] Tricaud, C. și Chen, Y.Q. (2010) O metodă aproximativă pentru rezolvarea numerică a ordinii fracționare Probleme de control optim de formă generală. Calculatoare și matematică cu aplicații, 59, 1644-1655.
http://dx.doi.org/10.1016/j.camwa.2009.08.006

[7] Zamani, M., Karimi, G. și Sadati, N. (2007) Fopid Controller Design for Robust Performance Using Particle Swarm Optimization. Calcul fracțional și analiză aplicată, 10, 169-188.

[8] Bagley, R.L. și Torvik, P.J. (1983) O bază teoretică pentru aplicarea calculului fracțional la viscoelasticitate. Jurnalul de reologie, 27, 201-210.
http://dx.doi.org/10.1122/1.549724

[9] Anastasio, T.J. (1994) Dinamica ordinii fracționate a neuronilor vestibulo-oculomotori Bainstem. Cibernetică biologică, 72, 69-79.
http://dx.doi.org/10.1007/BF00206239

[10] Liu, F., Anh, V. și Turner, I. (2004) Soluția numerică a ecuației spațiale fracționate Fokker-Planck. Journal of Computational and Applied Mathematics, 166, 209-219.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2003.09.028

[11] Shen, S., Liu, F., Anh, V. și Turner, I. (2008) Soluția fundamentală și soluția numerică a ecuației fracționare Riesz Advance-Dispersion. IMA Journal of Applied Mathematics, 73, 850-872.
http://dx.doi.org/10.1093/imamat/hxn033

[12] Bhrawy, A.H., Baleanu, D. și Assas, L.M. (2013) Metode Laguerre-spectrale generalizate eficiente pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale fracționare pe termen lung pe jumătatea liniei. Journal of Vibration and Control, 20, 973-985.

[13] Pooseh, S., Almeida, R. și Torres, D. (2013) Aproximări numerice ale derivaților fracționari cu aplicații. Jurnalul asiatic de control, 15.3, 698-712.
http://dx.doi.org/10.1002/asjc.617

[14] Grahovac, N.M. și Spasic, D.T. (2013) Ecuații diferențiale fracționale cu mai multe valori ca model pentru impactul a două corpuri. Journal of Vibration and Control, 20, 1017-1032.

[15] Saadatmandi, A. și Dehghan, M. (2011) A Legendre Collocation Method for Fraccional Integro-Differential Equations. Journal of Vibration and Control, 17, 2050-2058.
http://dx.doi.org/10.1177/1077546310395977

[16] Kayedi-Bardeh, A., Eslahchi, M.R. și Dehghan, M. (2014) O metodă pentru obținerea matricei operaționale a funcțiilor și aplicațiilor fracționare Jacobi. Journal of Vibration and Control, 20, 736-748.
http://dx.doi.org/10.1177/1077546312467049

[17] Dhabale, A.S., Dive, R., Aware, M.V. și Das, S. (2015) O nouă metodă pentru obținerea unei aproximări raționale pentru integrale de ordine fracțională. Jurnalul asiatic de control, 17, 2143-2152.

[18] Zhao, L. și Deng, W. (2014) Jacobian-Predictor-Corrector Approach for Fraccional Differential Equations. Progrese în matematică computerizată, 40, 137-165.
http://dx.doi.org/10.1007/s10444-013-9302-7

[19] Momani, S. și Odibat, Z. (2006) Soluție analitică a unei ecuații Navier-Stokes fracționate în timp prin metoda descompunerii adomiene. Matematică aplicată și calcul, 177, 488-494.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2005.11.025

[20] Odibat, Z.M. și Momani, S. (2006) Aplicarea metodei de iterație variațională la ecuațiile diferențiale neliniare ale ordinii fracționare. Jurnalul internațional de științe neliniare și simulare numerică, 7, 27-34.
http://dx.doi.org/10.1515/IJNSNS.2006.7.1.27

[21] Blank, L. (1996) Tratamentul numeric al ecuațiilor diferențiale de ordin fracțional. Departamentul de Matematică, Universitatea din Manchester.

[22] Podlubny, I. (2000) Abordarea matricială a calculului fracțional discret. Calcul fracțional și analiză aplicată, 3, 359-386.

[23] Podlubny, I., Chechkin, A., Skovranek, T., Chen, Y. și Jara, B.M.V. (2009) Abordarea matricială a calculului fracțional discret II: ecuații diferențiale fracționale parțiale. Jurnalul de Fizică Computațională, 228, 3137-3153.
http://dx.doi.org/10.1016/j.jcp.2009.01.014

[24] Badakhshan, K.P. și Kamyad, A.V. (2007) Folosind metoda AVK pentru a rezolva probleme neliniare cu parametri incerti. Matematică aplicată și calcul, 189, 27-34.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.172

[25] Ding, Y. și Ye, H. (2009) Un model de ecuație diferențială de ordin fracțional al infecției cu HIV a celulelor T CD4 +. Modelare matematică și computerizată, 50, 386-392.
http://dx.doi.org/10.1016/j.mcm.2009.04.019

[26] Podlubny, I. (1999) Ecuații diferențiale fracționale. Academic Press, San Diego.

[27] Badakhshan, K.P. și Kamyad, A.V. (2007) Soluție numerică a problemelor de control optim neliniar folosind programarea neliniară. Matematică aplicată și calcul, 187, 1511-1519.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2006.09.074

[28] Zeid, S.S. și Kamyad, A.V. (2014) Despre derivatele generalizate de înaltă comandă ale funcțiilor nesuferite. Jurnalul American de Matematică Computațională, 4, 317-328.
http://dx.doi.org/10.4236/ajcm.2014.44028

[29] Odibat, Z. și Momani, S. (2008) Un algoritm pentru soluția numerică a ecuațiilor diferențiale de ordin fracțional. Journal of Applied Mathematics & Informatics, 26, 15-27.