Matematicianul și filosoful-om de știință austro-american Kurt Gödel (1906-1978) a dezvoltat celebra „dovadă a lui Gödel”, care a oferit o perspectivă extraordinară asupra bazei gândirii matematice și a revoluționat logica modernă.
Kurt Gödel s-a născut la 28 aprilie 1906, la Brno, acum în Republica Cehă, dar pe atunci parte a Austro-Ungariei. Tatăl său a fost un producător de materiale textile bogat și viața sa cu părinții și fratele său a fost descrisă ca fiind „fericită”. Natura sa curioasă la vârsta de 6 ani i-a adus numele de familie „Domnul De ce”. La vârsta de 14 ani, devenise interesat de matematică și, un an mai târziu, de filosofie. La 17 ani, el stăpânea matematica la nivel universitar și excelează la alte discipline, precum și fratele său, Rudolph, spunea că „s-a zvonit că în tot timpul petrecut la liceu nu numai că munca sa în limba latină a primit întotdeauna notele de top, ci că nu a comis nici o eroare gramaticală. "
Gödel a intrat la Universitatea din Viena pentru a studia fizica teoretică; doi ani mai târziu, a trecut la matematică, apoi la logică matematică. A intrat în facultatea universitară în 1930 după ce și-a luat doctoratul. În 1931 Gödel a publicat „Despre propunerile formal nedescifrabile ale principiei matematice și a sistemelor conexe”. A fost o lucrare extrem de specializată, dar a atras atenția timpurie și a devenit cunoscută drept dovada lui Gödel. Gödel avea 25 de ani.
Dovada lui Gödel neagă posibilitatea ca un sistem matematic susținut pe axiome să poată fi verificat în cadrul acestui sistem și să încheie 100 de ani de încercări prin ancheta matematică anterioară de a stabili un sistem de axiome care ar putea întruchipa întregul raționament matematic, adică să pună toată matematica pe o bază axiomatică. Această lucrare fusese adusă la un nivel ridicat de realizare în secțiunile referitoare la logica elementară a propozițiilor din Principia Mathematica a lui Bertrand Russell și fusese aparent finalizată în strălucitele realizări ale lui David Hilbert în „perioada sa axiomatică” din 1922 până în 1930.
Gödel a conceput o metodă de conversie a simbolurilor logicii matematice în numere (numere Gödel) astfel încât să se realizeze aritmetizarea afirmațiilor metamatematice, adică afirmații despre aranjamente și formule matematice. El a fost capabil să ilustreze modul în care o afirmație metamatematică ar putea fi demonstrată a fi demonstrabilă chiar și atunci când își postulează propria indemonstrabilitate. De aici ar rezulta că orice formulă aritmetică este indecidabilă pe baza oricărui raționament metamatematic care ar putea fi reprezentat aritmetic. În același timp, s-ar putea arăta că o formulă nedemonstrabilă poate fi totuși stabilită ca un adevăr aritmetic.
Gödel a arătat în acest lanț extrem de complex de raționament că nu este posibil să se demonstreze auto-consistența unui sistem pe baza afirmațiilor metamatematice decât prin ieșirea în afara sistemului pentru metodele de probă. Mai mult, el a arătat că afirmațiile pot fi construite într-un astfel de sistem care nu poate fi nici condus, nici respins în cadrul acelui sistem, dar care poate fi dovedit a fi adevăruri aritmetice. Aceste concluzii au revoluționat gândirea matematică și au stimulat ramura matematicii cunoscută sub numele de teoria dovezilor.
Viața lui Gödel a fost dedicată activității de a face lucrări teoretice fundamentale. Munca sa în logica matematică a durat până în 1942, când a devenit ocupat în primul rând cu filozofia, studiind intens Leibniz (cu care s-a identificat îndeaproape), Kant și Husserl, până la moartea sa în 1978. Gödel a ajuns la Institutul de studii avansate din Princeton, NJ, în toamna anului 1933, unde l-a cunoscut pe Einstein pentru prima dată și a ținut prelegeri acolo câteva luni în 1934. S-a căsătorit la Adele Porkert din Viena în 1938. După mai multe navete între Princeton și Viena, Gödel s-a mutat definitiv la Princeton în 1940. A devenit membru permanent al Institutului în 1946 și a fost numit profesor în 1953.
Gödel s-a distanțat de treburile lumii și nu a participat aproape la nici o activitate practică: astfel erau cerințele concentrării sale asupra muncii teoretice fundamentale. El s-a limitat la câteva contacte cu lumea exterioară și cu majoritatea locuitorilor ei. Era înclinat spre prudență și intimitate; el a evitat controversele și a părut a fi „excepțional de sensibil” la critici. A publicat puțin (dar a lăsat un corp mare de note și lucrări nepublicate), a predat rareori, a acceptat puține invitații și nu i-a plăcut călătoria până la punctul de a scădea mai multe diplome onorifice, deoarece acceptarea lor înseamnă călătorie. Nu era interesat să opereze autovehicule. Puținele sale interese erau în arta suprarealistă și abstractă, scriitorii săi preferați includeau Goethe și Franz Kafka, se bucura de clasici ușori și unele muzică „pop” și filme Disney, în special Alba ca Zăpada.
Gödel și Einstein s-au găsit reciproc ca fiind intelectuali egali și, așa cum sa întâmplat, au împărtășit același fundal cultural. Începând din 1942 la Princeton, s-au văzut și au discutat între ei aproape zilnic până la moartea lui Einstein, în 1955. Einstein i-a spus unui coleg că în ultimii ani ai vieții sale, propria sa lucrare nu mai însemna prea mult și „că a venit la Institut doar să aibă privilegiul de a putea merge pe jos acasă cu Gödel "
Fizicul lui Gödel era fragil și avea o stare de sănătate relativ slabă pentru o mare parte a vieții sale, suferind uneori de depresie suficient pentru a fi internat în spital. Fratele lui Gödel, medic, a observat că dieta lui Kurt era excesiv de strictă și dăunătoare. Gödel nu a respectat ordinele medicului, „chiar și în momentul în care majoritatea oamenilor ar face acest lucru”, iar el însuși a recunoscut că este un pacient dificil. Se credea pe larg că era paranoic și era îngrijorat în permanență de otrăvirea alimentară. În 1978, el a murit de malnutriție și „inaniție” (foamete) cauzate de „o tulburare de personalitate” (conform certificatului său de deces).
De la moartea sa, faima lui Gödel s-a răspândit mai mult, începând aproape imediat cu publicarea în 1979 a lui Godel, Escher și Bach a lui Douglas R. Hofstader. Matematicianul John von Neumann a numit realizarea lui Gödel în logica modernă „un reper care va rămâne vizibil în spațiu în timp”. George Zebrowski spusese că „Niciun alt exemplu de gândire umană nu este la fel de vast ca dovada lui Gödel”. Prietenul și biograful lui Gödel, Hao Wang, observă că, pentru a găsi o lucrare de caracter comparabil atât în știință, cât și în filosofie, „trebuie să ne întoarcem la Descartes (1596-1650) și Leibniz (1646-1716) și adaugă că ar putea dura„ sute de ani „pentru confirmarea sau infirmarea mai clară a unora dintre conjecturile mai mari ale lui [Gödel]”.
În termeni laici, ceea ce Gödel a arătat în mod concludent că oamenii nu trăiesc într-un univers în care pot rezolva toate problemele și pot învăța totul. Nu se poate face niciodată, deoarece universul este infinit, iar mințile umane nu. Într-un fel, dovada lui Gödel este un adevăr despre sistemele de gândire, nu despre univers; este vorba despre hărți și nu despre teritoriul pe care îl reprezintă. Ceea ce Gödel și-a propus să demonstreze este că teritoriul actual va transcende întotdeauna harta.
După cum a spus un scriitor, „lucrurilor imprevizibile li se întâmplă ființelor finite”. Dovada lui Gödel sugerează un univers care este o existență infinită, infinită, eternă, care nu necesită niciun început, iar în acest univers cunoștințele noastre pot deveni extinse și semnificative, dar nu vor fi niciodată complete. O idee nefalsificabilă este completă în sine; bărbații verzi pot locui în toate frigiderele, dar nu putem ști asta din moment ce dispar când ușa este deschisă. Dogma religioasă este un alt exemplu de idee nefalsificabilă, întrucât o parte din apelul său este că are propria sa rezistență internă la răspunsuri la întrebări despre adevărul său. Dogmele se află în afara universului lui Gödel, deoarece încearcă să pună capăt tuturor discuțiilor și încercărilor adevărului, în timp ce universul lui Gödel ne cere să apreciem valoarea practică a imperfecțiunii, serendipității și sălbăticiei. Deschis: sistemele juridice nu pot fi niciodată mai mult decât „suficient de bune;” sistemele politice închise sărăcesc viețile culturale și economice și, în cele din urmă, eșuează.
În termeni și mai simpli, după cum spune Zebrowski, dovada lui Gödel poate fi explicată astfel: o femeie în vârstă participă la o întâlnire a filosofilor preocupați de natura universului și le spune că lumea se sprijină pe spatele unei broaște țestoase. Președintele o roagă să explice pe ce stă această broască țestoasă; ea se întoarce înapoi că stă pe spatele unei alte broaște țestoase. - Și pe ce stă țestoasa aia? cere președintele. Bătrâna scutură din deget și răspunde: „Nu mă poți păcăli, fiule, țestoasele sunt până la capăt!”
Lecturi suplimentare despre Kurt Gödel
Pentru un model de biografie expozitivă, vezi Hao Wang, Reflections on Kurt Gödel (1987); de asemenea, Pelle Yourgrau, Dispariția timpului (1991) și John W. Dawson, Dileme logice: viața și opera lui Kurt Gödel. Omni din „Ziua vieții în universul lui Gödel: hărți pe tot drumul” de George Zebrowski (aprilie 1992) este de mare ajutor pentru nematici.